Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及取達到最小值時相應(yīng)的x的值的集合；
（2）若將函數(shù)y=f（x）的圖象先向右平移

π

2

個單位，再把各點橫坐標縮短為原來的

1

2

，再將圖象向上平移

3

2

得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求使函數(shù)g（x）≤m在[0，

π

4

]恒成立的m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最小值及取達到最小值時相應(yīng)的x的值的集合．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）的最大值，從而得到m的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

，∴當x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=2kπ-

5π

6

，k∈z時，函數(shù)取得最小值為

3

2

-1．
即取到最小值時相應(yīng)的x的值的集合為{x|x=2kπ-

5π

6

，k∈z}．
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象先向右平移

π

2

個單位，可得函數(shù)y=sin（x-

π

2

+

π

3

）+

3

2

=sin（x-

π

6

）+

3

2

的圖象；
再把各點橫坐標縮短為原來的

1

2

，可得函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）+

3

2

的圖象；
再將圖象向上平移

3

2

得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

的圖象．
∵x∈[0，

π

4

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，

3

2

]，故g（x）的最大值為

3

2

+

3

=

3 3

2

，
由題意可得，m≥

3 3

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．