Question

10．已知函數f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+（m²-1）x²+x（x∈R）為奇函數，其中m＞0為常數．
（1）求m的值，并求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性的性質求出m的值，利用導數的幾何意義即可求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）根據函數單調性和到之間的關系進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數f（x）是奇函數，∴f（0）=0，
即m²-1=0，∵m＞0，∴解得m=1，
則f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，
函數的f（x）的導數f′（x）=-x²+1，
則f′（1）=0，f（1）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，即切線方程為y=$\frac{2}{3}$．
（2）∵f′（x）=-x²+1，
∴由f′（x）＞0解得-1＜x＜1，即增區(qū)間（-1，1），
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，
即減區(qū)間（-∞，-1]，[1，+∞），
即當x=-1時，函數取得極小值f（-1）=-$\frac{2}{3}$．
x=1時，函數取得極大值f（1）=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查導數的綜合應用，利用導數的幾何意義函數單調性極值和導數之間的關系是解決本題的關鍵．