Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)），a＞0．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）≥0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程；
（2）根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最小值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若a=1，則f（x）=e^x-ax-1，有f（0）=0，
f′（x）=e^x-1，
所以斜率為f′（0）=0，所以切線為y=0．
（2）求導(dǎo)：f′（x）=e^x-a，
令f′（x）＞0，解得x＞lna，
所以函數(shù)在（lna，+∞）遞增，（-∞，lna）遞減，
所以在x=lna，取得最小值．
故f（x）≥0恒成立，等價(jià)于f（x）_min≥0，
即f（lna）=a-alna-1≥0成立．
令h（a）=a-alna-1，
h′（a）=-lna，
所以知h（a）在（0，1）遞增，（1，+∞）遞減．
有h（a）_max=h（1）=0，
所以當(dāng)0＜a＜1或a＞1時(shí)，h（a）＜0，
所以a=1時(shí)，f（x）≥0對任意x∈R恒成立．
所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{1}．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)切線的求解，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．