Question

【題目】已知四棱錐中，底面，，底面是邊長為的正方形，是的中點．

（1）求點到平面的距離；

（2）求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據邊長的關系和利用勾股定理的逆定理可得，設點到平面的距離為，利用等體積法和棱錐的體積公式，即可求點到平面的距離；

（2）設的中點為，連接、，根據三角形中位線的性質得出，得出是異面直線與所成角或其補角，利用余弦定理求出，從而得出結果.

解：（1）由題可知，底面，，

且底面是邊長為的正方形，

由于，

而，

，

在中，有，則，

所以，

設點到平面的距離為，

由于，則，

則，

解得：，

即點到平面的距離為.

（2）設的中點為，連接、，

∵是中點，∴，

∴是異面直線與所成角或其補角，

由于底面，底面，

則，

在中，，

而，，

在中，由余弦定理得：

，

又由于異面直線夾角范圍為，

由此可得異面直線與所成角為的補角，

所以異面直線與所成角的余弦值為.