Question

已知對稱中心為坐標原點的橢圓C₁與拋物線C₂：x²＝4y有一個相同的焦點F₁，直線l：y＝2x＋m與拋物線C₂只有一個公共點．

(1)求直線l的方程；

(2)若橢圓C₁經(jīng)過直線l上的點P，當橢圓C₁的離心率取得最大值時，求橢圓C₁的方程及點P的坐標．

 

Answer 1

解　(1)由消去y，得x²－8x－4m＝0，

∵直線l與拋物線C₂只有一個公共點，

∴Δ＝8²＋4×4m＝0，解得m＝－4.

∴直線l的方程為y＝2x－4.

(2)∵拋物線C₂的焦點為F₁(0,1)，依題意知橢圓C₁的兩個焦點的坐標為F₁(0,1)，F₂(0，－1)

設橢圓C₁的方程為＋＝1(a>1)，

由消去y，得(5a²－4)x²－16(a²－1)x＋(a²－1)(16－a²)＝0.(*)

由Δ＝16²(a²－1)²－4(5a²－4)(a²－1)(16－a²)≥0，得a⁴－4a²≥0(a²>0且a²－1>0)，解得a²≥4.∵a>1，∴a≥2，∴e＝≤.

當a＝2時，e_max＝，此時橢圓C₁的方程為＋＝1.

把a＝2代入方程(*)，解得x＝.

又y＝2x－4，∴y＝－1，

∴點P的坐標為.