Question

10．若以直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，ox為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線c的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ=6cosθ．
（1）將曲線c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；
（2）若直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），當(dāng)直線l與曲線c相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，sin²θ+cos²θ=1進(jìn)行代換即得曲線c的直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線直線l的參數(shù)方程代入曲線c的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)方程的幾何意義即可求解．

解答 解：（1）由題意，C的極坐標(biāo)方程是：ρsin²θ=6cosθ．
可得ρ²sin²θ=6ρcosθ，
∴y²=6x．
即曲線C是拋物線；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C為：y²=6x．
把直線l中的x，y帶入曲線C：可得$\frac{3}{4}{t}^{2}=6（\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t）$，
即t²-4t-12=0，
∴t_A+t_B=4，t_A•t_B=-12．
直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為 t_A，t_B，
則|AB|=|t_A-t_B|=$\sqrt{（{t}_{A}+{t}_{B}）^{2}-4{t}_{A}{t}_{B}}$．
∴|AB|=8
即線段AB的長為8．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．