Question

【題目】已知函數(shù)且.

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，極大值，不存在極小值；當(dāng)時(shí)，極小值，不存在極大值；

（2）當(dāng)時(shí)，最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，最大值為，最小值為.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值．

（2）對(duì)a分類(lèi)討論，分別研究極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，即可得出結(jié)論．

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

討論：

當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極大值，不存在極小值

當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在極小值，不存在極大值.

（2）據(jù)（1）求解知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

討論：

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值，最大值為與的較大者.

下面比較與的大小：

令，得，化簡(jiǎn)得，

所以或.

又，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.