Question

15．已知異面直線a，b所成角為60°，直線AB與a，b均垂直，且垂足分別是點(diǎn)A，B若動(dòng)點(diǎn)P∈a，Q∈b，|PA|+|QB|=m，則線段PQ中點(diǎn)M的軌跡圍成的區(qū)域的面積是$\frac{\sqrt{3}{m}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 作直線a，b以及點(diǎn)P、Q在線段AB的中垂面上的投影，記為直線a′，b′認(rèn)及點(diǎn)P′，Q′，由線段P′Q′的中點(diǎn)即為點(diǎn)M，這樣把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題．

解答 解：設(shè)線段AB的中垂面為α，則M的軌跡在平面α內(nèi)，在平面α內(nèi)分別作直線a，b的投影a′，b′，則兩直線的夾角為60°
設(shè)A，B在平面α的投影為O，P，Q在平面α內(nèi)的投影分別為P′，Q′，則M為P′Q′的中點(diǎn)，
∴OP′=PA，OQ′=BQ．
∵|PA|+|QB|=m，∴OP′+OQ′=m．
在直線a′，b′上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，使得OE=OF=OG=OH=$\frac{m}{2}$．
∵OE+OH=OP′+OQ′=m，∴P′E=HQ′
過(guò)P′作P′R∥EH交OQ′于R，則HR=P′E=HQ′，
∴P′Q′的中點(diǎn)M在EH上，
同理可得M在EF，F(xiàn)G，GH上，
∴M的軌跡為矩形EHGH．
∵∠EOH=60°，OE=OF=OG=OH=$\frac{m}{2}$，
∴S_矩形EFGH=$\frac{1}{2}×\frac{m}{2}×\frac{m}{2}×sin60°×2$+$\frac{1}{2}×\frac{m}{2}×\frac{m}{2}×sin120°×2$=$\frac{\sqrt{3}{m}^{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}{m}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)的軌跡的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，是中檔題．