Question

4．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，$\frac{3}{2}$），且離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l過橢圓C的左焦點F₁交橢圓于A，B兩點，AB的中垂線交長軸于點D，試探索$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$是否為定值？若是，求出該定值，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1，從而求橢圓C的方程；
（2）分類討論，從而分別確定$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$；從而證明．當(dāng)斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），k≠0；從而聯(lián)立方程化簡得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理求距離，從而求比值．

解答 解：（1）由題意知，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}$=1，
解得，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①當(dāng)直線l的斜率為0時，|AB|=2a=4，
|DF₁|=c=1，
故$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$；
②當(dāng)直線l的斜率不存在時，|DF₁|不存在，
故$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$不存在；
③設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），k≠0；
與$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1聯(lián)立消元可得：
（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
故|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{144（{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$；
$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$k（x₁+x₂）+k=$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$
故AB的中點的坐標(biāo)為（-$\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），
故AB的中垂線的方程為y-$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$），
令y=0解得，x=-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，
故D（-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），
故|DF₁|=|-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+1|=$\frac{3（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$，
故$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$；
綜上所述，$\frac{|D{F}_{1}|}{|AB|}$為定值$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系，同時考查了學(xué)生的化簡運算能力及分類討論的思想方法應(yīng)用．