Question

16．已知直線l：y=-x+1與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0））相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）
（1）求橢圓C離心率；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且2|OP|=|AB|，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值；
（2）運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及兩點(diǎn)的距離公式，解方程即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）將直線y=1-x代入橢圓方程，可得
（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
則x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
由AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），可得
$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{4}{3}$，即為a²=2b²，
可得c²=a²-b²=$\frac{1}{2}$a²，
則橢圓C離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由（1）可得，
△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
可得a²+b²＞1，即b²＞$\frac{1}{3}$，
x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2-2^{2}}{3}$，
由2|OP|=|AB|，可得：
2$\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}$=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4（2-2^{2}）}{3}}$，
解得b²=$\frac{3}{4}$（滿足△＞0），即有a²=$\frac{3}{2}$，
可得橢圓方程為$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，兩點(diǎn)的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．