分析 (1)將直線方程代入橢圓方程,運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值;
(2)運用韋達(dá)定理和弦長公式,以及兩點的距離公式,解方程即可得到a,b,進(jìn)而得到橢圓方程.
解答 解:(1)將直線y=1-x代入橢圓方程,可得
(b2+a2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,
則x1+x2=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$,
由AB的中點P的坐標(biāo)為($\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),可得
$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{4}{3}$,即為a2=2b2,
可得c2=a2-b2=$\frac{1}{2}$a2,
則橢圓C離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)由(1)可得,
△=4a4-4(b2+a2)(a2-a2b2)>0,
可得a2+b2>1,即b2>$\frac{1}{3}$,
x1+x2=$\frac{4}{3}$,x1x2=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2-2^{2}}{3}$,
由2|OP|=|AB|,可得:
2$\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}$=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4(2-2^{2})}{3}}$,
解得b2=$\frac{3}{4}$(滿足△>0),即有a2=$\frac{3}{2}$,
可得橢圓方程為$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1.
點評 本題考查橢圓的離心率的求法,注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式,考查橢圓方程的求法,注意運用韋達(dá)定理和弦長公式,兩點的距離公式,考查運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{x^2}{3}$-y2=1 | B. | x2-$\frac{y^2}{3}$=1 | C. | $\frac{x^2}{6}$-$\frac{y^2}{2}$=1 | D. | $\frac{x^2}{2}$-$\frac{y^2}{6}$=1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (2)(3) | B. | (1)(4) | C. | (1)(2)(4) | D. | (1)(3)(4) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {x|-1≤x<4} | B. | {x|2<x<3} | C. | {x|2<x≤3} | D. | {x|-1<x<4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-2,1) | B. | (1,4) | C. | {2,3} | D. | {-1,0} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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