Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=x-asinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤cosx，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過x=0成立，x＞0時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時(shí)，f（x）=x-2sinx，
f′（x）=1-2cosx，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{π}{3}$＜x≤$\frac{π}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：0≤x＜$\frac{π}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）遞減，在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]遞增；
（Ⅱ）若f（x）≤cosx，
即asinx≥x-cosx，
x=0時(shí)，顯然成立，
0＜x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，
a≥$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
令g（x）=$\frac{x-cosx}{sinx}$，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
g′（x）=$\frac{1+sinx-xcosx}{{（sinx）}^{2}}$，
令h（x）=1+sinx-xcosx，（0＜x≤$\frac{π}{2}$]，
h′（x）=xsinx＞0，
故h（x）在（0，$\frac{π}{2}$]遞增，
h（x）＞h（0）=1＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]遞增，
∴g（x）_max=g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，
故a≥$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．