Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件得a_n+1=$\frac{2an}{an+1}$，由此能夠求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n=$\frac{2n}{2n-1}$，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由題意得a_n+1=$\frac{2an}{an+1}$，又a₁=2，
∴a₂=$\frac{2a1}{a1+1}$=$\frac{4}{3}$，a₃=$\frac{2a2}{a2+1}$=$\frac{8}{7}$，a₄=$\frac{2a3}{a3+1}$=$\frac{16}{15}$．…（4分）
（2）猜想a_n=$\frac{2n}{2n-1}$..…．…（6分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{21}{21-1}$=2=a₁，故命題成立．
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即a_k=$\frac{2k}{2k-1}$，
a_k+1=$\frac{2ak}{ak+1}$=$\frac{2×\f（2k}{2k-1}，\frac{2k}{2k-1}+1）$=$\frac{2k+1}{2k+2k-1}$=$\frac{2k+1}{2k+1-1}$，
故命題成立．
綜上，由①②知，對(duì)一切n∈N^*有a_n=$\frac{2n}{2n-1}$成立．．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程，屬于中檔題．