Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n+1（n∈N^*），其中S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項(xiàng)公式a_n；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)條件，可求a₁，a₂，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟對(duì)這個(gè)猜想加以證明．

解答 解：（1）a₁=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{7}{4}$，a₃=$\frac{15}{8}$，a₄=$\frac{31}{16}$，猜測(cè) a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
（2）①由（1）知當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；  ②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即a_k=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1+1-2k+a_k-1，
∴a_k+1=1+$\frac{1}{2}$a_k=1+$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{{2}^{k}}$）=2-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
根據(jù)①②得n∈N^*），a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$ 都成立．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法