Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）當(dāng)t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2時，求a的值；
（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2時，求a的值；
（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)t=4時，
F（x）=g（x）-f（x）=log_a，x∈[1，2]，
令h（x）==4，x∈[1，2]，
設(shè)u=x+，x∈[1，2]作出u（x）的圖象可知
u（x）=x+在[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)．
∴h（x）在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴h（x）_min=16，h（x）_max=18．
當(dāng)0＜a＜1時，有F（x）_min=log_a18，
令log_a18=2，求得a=3＞1（舍去）；
當(dāng)a＞1時，有F（x）_min=log_a16，
令log_a16=2，求得a=4＞1．∴a=4．
（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，
即當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，
log_ax≥2log_a（2x+t-2）恒成立，
由log_ax≥2log_a（2x+t-2）可得
log_a≥log_a（2x+t-2），
∴≤2x+t-2，∴t≥-2x++2．
設(shè)u（x）=-2x++2=-2（）²++2=-2²+，
∵x∈[1，2]，∴∈[1，]．
∴u（x）_max=u（1）=1．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≥1．
點(diǎn)評：1、本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的知識，特別是與分類討論相貫穿使此題更顯綜合；
2、第二問考查了恒成立問題，要注意學(xué)習(xí)由已知向?qū)��?shù)不等式轉(zhuǎn)化的能力，由對數(shù)不等式向二次不等式轉(zhuǎn)化的能力．同時本題當(dāng)中體現(xiàn)的游離參數(shù)思想亦值得學(xué)習(xí)．