【題目】在如圖所示的多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為正方形,底面ABFE為直角梯形,∠ABF為直角, , 平面ABCD⊥平面ABFE.
(1)求證:DB⊥EC;
(2)若AE=AB,求二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵底面ABFE為直角梯形,AE∥BF,∠EAB=90°,
∴AE⊥AB,BF⊥AB,
∵平面ABCD⊥平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,
∴AE⊥平面ABCD.BF⊥平面ABCD,∴BF⊥BC,
設(shè)AE=t,以BA,BF,BC所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖坐標(biāo)系,
則B(0,0,0),C(0,0,1),D(1,0,1),E(1,t,0)
∵ =0,∴DB⊥EC
(2)解:由(1)知 是平面BEF的一個法向量,
設(shè) =(x,y,z)是平面CEF的一個法向量,
AE=AB=1,E(1,1,0),F(xiàn)(0,2,0),
∴ =(1,1,﹣1), =(0,2,﹣1),
則 ,取z=2, =(1,1,2),
∴cos< >= = ,
即二面角C﹣EF﹣B的余弦值為 .
【解析】(1)推導(dǎo)出AE⊥AB,BF⊥AB,從而BF⊥BC,設(shè)AE=t,以BA,BF,BC所在的直線分別為x,y,z軸坐標(biāo)系,利用向量法能證明DB⊥EC.(2)求出平面BEF的一個法向量和平面CEF的一個法向量,利用向量法能求出二面角C﹣EF﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記數(shù)列的前項和為,求;
(3)是否存在正整數(shù),使得仍為數(shù)列中的項,若存在,求出所有滿足的正整數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 展開式各項系數(shù)的和比它的二項式系數(shù)的和大992.
(Ⅰ)求n;
(Ⅱ)求展開式中 的項;
(Ⅲ)求展開式系數(shù)最大項.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知半徑為1的球O內(nèi)切于正四面體A﹣BCD,線段MN是球O的一條動直徑(M,N是直徑的兩端點),點P是正四面體A﹣BCD的表面上的一個動點,則 的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3 .
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)令cn=anbn , 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn , 求Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) 是奇函數(shù) ( )的導(dǎo)函數(shù), ,當(dāng) 時, 則使得 成立的 的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點P的直角坐標(biāo)為(1,2),點M的極坐標(biāo)為 ,若直線l過點P,且傾斜角為 ,圓C以M為圓心,3為半徑.
(Ⅰ)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點,求|PA||PB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】a、b、c是空間中互不重合的三條直線,下面給出五個命題:
①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;
④若a平面α,b平面β,則a,b一定是異面直線;
⑤若a,b與c成等角,則a∥b.
上述命題中正確的是________.(填序號)
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【題目】
已知等差數(shù)列, .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記數(shù)列的前項和為,求;
(3)是否存在正整數(shù),使得仍為數(shù)列中的項,若存在,求出所有滿足的正整數(shù)的值;若不存在,說明理由.
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