Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），若對于任意的實數(shù)x，都有f（x-1）≤f（x）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  3

  6

  ，

  3

  6

  ]
• B、[-

  6

  6

  ，

  6

  6

  ]
• C、[-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ]
• D、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：

分析：把x≥0時的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時的函數(shù)的最大值，由對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得2a²-（-4a²）≤1，求解該不等式得答案．

解答： 解：當(dāng)x≥0時，
f（x）=

x-3a2，x＞2a2 -a2，a2＜x≤2a2 -x，0≤x≤a2

，

由f（x）=x-3a²，x＞2a²，得f（x）＞-a²；
當(dāng)a²＜x＜2a²時，f（x）=-a²；
由f（x）=-x，0≤x≤a²，得f（x）≥-a²．
∴當(dāng)x＞0時，f（x）_min=-a²．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，f（x）_max=a²．
∵對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），
∴2a²-（-4a²）≤1，解得：-

6

6

≤a≤

6

6

．
故選：B．

點評：本題考查了恒成立問題，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運用了轉(zhuǎn)化思想，對任意的實數(shù)x，都有f（x-1）≤f（x）成立的理解與應(yīng)用是關(guān)鍵，也是難點，屬于難題．