13．設(shè)a＞1，n∈N且n≥2，求證：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$．

分析 轉(zhuǎn)化成指數(shù)式t+1＜（1+$\frac{t}{n}$）n．再對(duì)指數(shù)式利用二項(xiàng)定理展開(kāi)，結(jié)合放縮法證得即可

解答 證明：要證證：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$，
即證a＜（$\frac{a-1}{n}$+1）n．
令a-1=t＞0，則a=t+1．
也就是證t+1＜（1+$\frac{t}{n}$）n．
∵（1+$\frac{t}{n}$）n=1+Cn1$\frac{t}{n}$+…+Cnn（$\frac{t}{n}$）n＞1+t，
即證：$\root{n}{a}$-1＜$\frac{a-1}{n}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，本題還考查了二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，一般地，涉及不等關(guān)系的指數(shù)式可應(yīng)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)后進(jìn)行放縮，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

3．如圖，P為拋物線(xiàn)C：y2=8x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，M為拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)l上一點(diǎn)，且MF⊥PF，線(xiàn)段MF與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，若|PF|=8，則$\frac{|MN|}{|NF|}$=（　　）
A．$\sqrt{3}$B．$\sqrt{2}$C．$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$D．$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，點(diǎn)P是準(zhǔn)線(xiàn)上任一點(diǎn)，直線(xiàn)PF交拋物線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{FP}$=4$\overrightarrow{FA}$，則S△AOB=（　�。�
A．$\frac{5\sqrt{2}}{6}$B．3$\sqrt{2}$C．$\frac{3\sqrt{2}}{2}$D．$\frac{9}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．試比較3n-2n與（n-2）2n+2n2的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且$2{cos^2}\frac{C-A}{2}$•cosA-sin（C-A）•sinA+cos（B+C）=$\frac{1}{3}$，c=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求sinC；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

18．已知log6a+log6b+log6c=6，其中a，b，c∈N+，若a，b，c是遞增的等比數(shù)列，又b-a為一完全平方數(shù)，則a+b+c=111．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

5．在等比數(shù)列{an}中，公比q=-2，且a3a7=4a4，則a8等于（　�。�
A．16B．32C．-16D．-32

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．已知點(diǎn)P到兩個(gè)頂點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）距離的比為$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（A，Q兩點(diǎn)不重合），證明：點(diǎn)B，N，Q在同一條直線(xiàn)上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

3．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+2（x＜1）}\\{lo{g}_{3}（x+2）（x≥1）}\end{array}\right.$，則f（7）+f（0）=5．

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同步練習(xí)冊(cè)答案