Question

1．試比較3ⁿ-2ⁿ與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 只要比較3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，通過(guò)比較n=1，2，3，4，5時(shí)，兩個(gè)代數(shù)式的大小，猜想結(jié)論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：要比較3ⁿ-2ⁿ與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比較：3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
當(dāng)n=1時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n=2，3時(shí)，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n=4，5時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²
猜想：當(dāng)n≥4時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
由上述過(guò)程可知，n=4時(shí)結(jié)論成立，
假設(shè)當(dāng)n=k，（k≥4）時(shí)結(jié)論成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
兩邊同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，證明步驟的應(yīng)用，歸納推理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．