Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N⁺）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用遞推思想能求出a₂，a₃，a₄的值；由a_n+1=2S_n，得S_n+1-S_n=2S_n，從而得到S_n=3^n-1（n∈N^*）由此能求出a_n=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

．
（Ⅱ）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，利用錯(cuò)位相減法求解．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2S_n（n∈N⁺）．
∴a₂=2S₁=2a₁=2
a₃=2S₂=2（1+2）=6，
a₄=2S₃=2（1+2+6）=18．
∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴

Sn+1

Sn

=3，
又∵S₁=a₁=1，
∴數(shù)列{S_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

．
（2）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，…①
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，…②
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3^n-1
=-1+（1-2n）•3^n-1，
∴T_n=

1

2

+（n-

1

2

）3^n-1（n≥2），
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，
∴T_n=

1

2

+（n-

1

2

）3^n-1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．