Question

18．在數列{a_n}中，a₁=1，3^n-1a_n=3^n-2a_n-1-2•3^n-2+2（n≥2），S_n是數列{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}的前n項和，當不等式$\frac{（{3}^{m}+1）（{S}_{n}-m）}{{3}^{m}（{S}_{n+1}-m）}＜1$（m∈N^*）恒成立時，m•n的所有可能取值為1，2，4．

Answer 1

分析 由3^n-1a_n=3^n-2a_n-1-2•3^n-2+2（n≥2），可得：3ⁿa_n-3^n-1a_n-1=6-2×3^n-1．利用“累加求和”與等比數列的前n項和公式可得：a_n=$\frac{6n-{3}^{n}}{{3}^{n}}$，于是$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=$\frac{2}{{3}^{n-1}}$．可得數列{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}的前n項和S_n=$3-\frac{1}{{3}^{n-1}}$．不等式$\frac{（{3}^{m}+1）（{S}_{n}-m）}{{3}^{m}（{S}_{n+1}-m）}＜1$（m∈N^*）化為：$\frac{（{3}^{m}+1）（3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m）}{{3}^{m}（3-\frac{1}{{3}^{n}}-m）}$＜1，對m分類討論即可得出．

解答 解：∵3^n-1a_n=3^n-2a_n-1-2•3^n-2+2（n≥2），
∴3ⁿa_n-3^n-1a_n-1=6-2×3^n-1．
∴3ⁿa_n=（3ⁿa_n-3^n-1a_n-1）+$（{3}^{n-1}{a}_{n-1}-{3}^{n-2}{a}_{n-2}）$+…+（3²a₂-3a₁）+3a₁
=（6-2×3^n-1）+（6-2×3^n-2）+…+（6-2×3）+3
=6（n-1）-2×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$+3=6n-3ⁿ，
∴a_n=$\frac{6n-{3}^{n}}{{3}^{n}}$（n=1時也成立）．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=$\frac{2}{{3}^{n-1}}$．
∴數列{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}的前n項和S_n=$2×\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$3-\frac{1}{{3}^{n-1}}$．
不等式$\frac{（{3}^{m}+1）（{S}_{n}-m）}{{3}^{m}（{S}_{n+1}-m）}＜1$（m∈N^*）化為：$\frac{（{3}^{m}+1）（3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m）}{{3}^{m}（3-\frac{1}{{3}^{n}}-m）}$＜1（*），
m=1時，化為：2•3^n-1＜3，n=1時成立．此時mn=1．
m=2時，化為：3ⁿ＜21，n=1，2時成立．此時mn=2，或4．
m≥3時，3^m+1＞3^m，$\frac{3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m}{3-\frac{1}{{3}^{n}}-m}$=$\frac{m+\frac{1}{{3}^{n-1}}-3}{m+\frac{1}{{3}^{n}}-3}$＞1，∴$\frac{（{3}^{m}+1）（3-\frac{1}{{3}^{n-1}}-m）}{{3}^{m}（3-\frac{1}{{3}^{n}}-m）}$＞1，因此上式（*）不成立．
綜上可得：m•n的所有可能取值為1，2，4．
故答案為：1，2，4．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系、不等式的性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．