Question

7．正三棱錐O-ABC的每一條棱長均為1，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（0≤x，y，z≤1），且滿足1≤x+y+z≤2，則動點P的軌跡所圍成的區(qū)域的體積是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得動點P的軌跡所圍成的區(qū)域，然后由柱體體積減去兩個三棱錐的體積得答案．

解答 解：如圖，由$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（0≤x，y，z≤1），且滿足1≤x+y+z≤2，
可得動點P的軌跡所圍成的區(qū)域是介于平面ABC與平面EFG之間的部分，

∴$V=OA•OB•sin60°•{h}_{C}-2•\frac{1}{3}{S}_{△OAB}•{h}_{C}$
=$1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}-2×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查空間向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算，考查柱、錐、臺體積的求法，由已知向量等式得到點P的軌跡所圍成的區(qū)域是關(guān)鍵，是中檔題．