Question

16．高新開發(fā)區(qū)某公司生產(chǎn)一種品牌筆記本電腦的投入成本是4500元/臺，當(dāng)筆記本的銷售價(jià)為6000元/臺時(shí)，月銷售量為a臺，市場分析的結(jié)果表明，如果筆記本電腦的銷售價(jià)提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月銷售量減少的百分率為x²，記銷售價(jià)提高的百分率為x時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤是y元
（1）寫出月利潤y與x的函數(shù)關(guān)系式
（2）如何確定這種筆記本電腦的銷售價(jià)，使得該公司的月利潤最大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，算出每個(gè)電腦的利潤，計(jì)算出銷售量，兩者相乘即可得到月利潤y（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)取最值時(shí)x的取值即可．

解答 解：（1）依題意，銷售價(jià)提高后電腦為6000（1+x）元/臺，月銷售量為a（1-x²）臺，
則y=a（1-x²）[6000（1+x）-4500]，
即y=1500a（-4x³-x²+4x+1）（0＜x＜1）；                      
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=1500a（-12x²-2x+4），
令y′=0，得6x²+x-2=0，解得x=$\frac{1}{2}$或-$\frac{2}{3}$（舍去）．               
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，y′＞0；當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜1時(shí)，y′＜0．
所以，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y取得最大值，此時(shí)銷售價(jià)為9000元．
答：筆記本電腦的銷售價(jià)為9000元時(shí)，電腦企業(yè)的月利潤最大．

點(diǎn)評 本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的模型，是解決實(shí)際問題的變化關(guān)系常用的方法，其步驟是，建立函數(shù)模型，求解函數(shù)，得出結(jié)論，再反饋回實(shí)際問題中去．主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．