Question

4．設命題p：關于x的不等式1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立；命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域是實數(shù)集R．如果命題p和q有且僅有一個正確，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出命題p，q成立的等價條件，而p和q有且僅有一個正確即是①p正確而q不正確，②q正確而p不正確，兩種情況可求a的范圍

解答 解：x∈（-∞，0]時，2^x∈（0，1]，
∵1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立，
∴1≥a•2^x，∴a≤$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵當x≤0時，$\frac{1}{{2}^{x}}$≥1，
∴a≤1，
即使p正確的a的取值范圍是：a≤1．
由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）當a=0時，ax²-x+a=-x不能對一切實數(shù)恒大于0．
（2）當a≠0時，由題意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞$\frac{1}{2}$．
故q正確：a＞$\frac{1}{2}$．
∵命題p和q有且僅有一個正確，
∴①若p正確而q不正確，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即a≤$\frac{1}{2}$，
②若q正確而p不正確，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤0，或a＞1}\end{array}\right.$，即a＞1，
故所求的a的取值范圍是：（-∞，$\frac{1}{2}$]∪（1，+∞）．

點評 本題考查命題的真假判斷和應用，是基礎題．求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．注意函數(shù)的定義域的合理運用．