Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow$=（-$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{3}{2}$），函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及對稱軸方程；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式、兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式和對稱軸方程，計算可得；
（2）運用同角的平方關(guān)系和角的變換α=（$α-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$，結(jié)合兩角和的正弦公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）f（x）=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，$\frac{1}{2}$）•（sinx，-1）
=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
則T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
可得對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
（2）f（$\frac{α}{2}$）=sin（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
$α-\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
cos（$α-\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
sinα=sin[（$α-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（$α-\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（$α-\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3+\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期公式和對稱軸方程，考查角的變換的運用，屬于中檔題．