Question

如圖所示，平面ABC，CE//PA，PA=2CE=2。 
（1）求證：平面平面APB；  （2）求二面角A—BE—P的正弦值。

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ) 

（1）取AB，PB的中點G，F(xiàn)連接CG，GF，F(xiàn)E，
則GF//PA，且又CE//PA，，
所以CE//GF，且CE=GF，所以四邊形GFEC是平行四邊形，
所以EF//CG。,又AC=BC，AG=GB，
所以，又PA面ABC，得CGPA，，
所以，CG面PAB，因此，EF面PAB，又面EPB，
所以平面EPB平面APB。  
  （2）在平面PAB內過點Ａ作ＡＢPB于點H，
因為平面EPB平面APB，
又平面EPB平面APB=PB，
所以AH平面EPB，取EB的中點M，
連接AM，MH， 因為AB=AE=，   所以AMEB，
故由三垂線定理的逆定理可知，HMEB，
因此為二面角A—BE—P的平面角。  
在，PA=2，
所以在中，AB=BE=EA=，
所以 
因此，二面角A—BE—P的正弦值為