Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個交點，設這兩個交點的橫坐標分別為，.

（�。┣�的取值范圍；

（ⅱ）求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（�。�，（ⅱ）見解析

【解析】

（1）求出的導數(shù)，求得切線的斜率，由得切點由點斜式方程可得切線的方程；

（2）（�。�函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個零點的問題，進而研究的導數(shù)及圖像即可.

（ⅱ）先由 （�。� 得的單調(diào)性，分析出、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；設，將導到上，利用函數(shù)在上單調(diào)性，欲證,只需證明，結(jié)合，只需證明.再構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論 ．

（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲線在點處的切線方程為：.

（2）（ⅰ）令 ，

∴，

由得，；由得，易知，為極大值點，

又時，當時，

即函數(shù)在時有負值存在，在時也有負值存在.

由題意，只需滿足，

∴的取值范圍是：

（ⅱ）由題意知，，為函數(shù) 的兩個零點，由（�。�知，不妨設，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，欲證，

只需證明，而，

所以，只需證明.

令，則

∴.

∵，∴，即

所以，，即在上為增函數(shù)，

所以，，∴成立.

所以，.