【題目】已知橢圓C1 , 拋物線C2的焦點均在x軸上,C1的中心和C2的頂點均為原點O,從每條曲線上各取兩個點,其坐標分別是(3,一2 ),(一2,0),(4,一4),( ). (Ⅰ)求C1 , C2的標準方程;
(Ⅱ)是否存在直線L滿足條件:①過C2的焦點F;②與C1交與不同的兩點M,N且滿足 ?若存在,求出直線方程;若不存在,說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0),

則有 ,x≠0,

據(jù)此驗證4個點知(3,﹣2 ),(4,﹣4)在拋物線上,

∴C2:y2=4x,

設(shè)C1 ,(a>b>0),

把點(﹣2,0),( , )代入,得:

,解得 ,

的方程為:

(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時,

直線l的方程為x=1,直線l交拋物線于M(1, ),N(1,﹣ ),

≠0,不滿足題意,

當直線l的斜率存在時,假設(shè)存在直線l,過拋物線焦點F(1,0),

設(shè)其方程為y=k(x﹣1),與C1的交點坐標為M(x1,y1),N(x2,y2),

,消去y并整理,得(1+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣1)=0,

, ,①

y1y2=k(x1﹣1)k(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1],

=﹣ ,②

,即 =0,得x1x2+y1y2=0,

將①,②代入(*)式,得 = ,

解得k=±2,

∴存在直線l滿足條件,且l的方程為2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0


【解析】(Ⅰ)設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有 ,≠0,由此能求出C2:y2=4x,設(shè)C1 ,(a>b>0),由題意得 ,由此能求出 的方程為: .(Ⅱ)當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1,直線l交拋物線于M(1, ),N(1,﹣ ), ≠0,不滿足題意,當直線l的斜率存在時,假設(shè)存在直線l,過拋物線焦點F(1,0),設(shè)其方程為y=k(x﹣1),與C1的交點坐標為M(x1,y1),N(x2,y2),由 ,得(1+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣1)=0,由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程.

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0

0

2

0

0

(Ⅰ)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,函數(shù)的解析式(直接寫出結(jié)果即可)

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;/span>

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等級

優(yōu)秀

合格

尚待改進

等級

優(yōu)秀

合格

尚待改進

頻數(shù)

15

x

5

頻數(shù)

15

3

y


(1)從表二的非優(yōu)秀學生中隨機選取2人交談,求所選2人中恰有1人測評等級為合格的概率;
(2)由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下邊2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

男生

女生

總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

參考數(shù)據(jù)與公式:
K2= ,其中n=a+b+c+d.
臨界值表:

P(K2>k0

0.05

0.05

0.01

k0

2.706

3.841

6.635

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其中類比結(jié)論正確的命題個數(shù)為( )
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