Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)得f（0）=0，求得b，再由已知，得到方程，解出a，即可得到解析式；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（3）運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性，得到不等式f（t-1）+f（t）＜0即為f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
得到不等式組，解出即可．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
則f（0）=0，即有b=0，
且f（

1

2

）=

2

5

，則

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解得，a=1，
則函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=

x

1+x2

（-1＜x＜1）；
（2）證明：設(shè)-1＜m＜n＜1，則f（m）-f（n）=

m

1+m2

-

n

1+n2

=

(m-n)(1-mn)

(1+m2)(1+n2)

，由于-1＜m＜n＜1，則m-n＜0，mn＜1，即1-mn＞0，
（1+m²）（1+n²）＞0，則有f（m）-f（n）＜0，
則f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解：由于奇函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
則不等式f（t-1）+f（t）＜0即為f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
即有

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，解得

0＜t＜2 -1＜t＜1 t＜ 1 2

，
則有0＜t＜

1

2

，
即解集為（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法和單調(diào)性的證明和運(yùn)用：解不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．