Question

以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四棱錐和四面體的個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值是    ．

Answer 1

【答案】分析：要構(gòu)成四棱錐，須有4個(gè)點(diǎn)共面，共6+6=12種情況，每一種情況都可構(gòu)成4個(gè)四棱錐；要構(gòu)成四面體，可先從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，共有C₈⁴=70，去掉構(gòu)不成四面體的6+6=12，可得共58種，作差即可．
解答：解：要構(gòu)成四棱錐，須有4個(gè)點(diǎn)共面，這4個(gè)點(diǎn)可以在正方體的表面的4個(gè)頂點(diǎn)，也可以是對(duì)角面的4個(gè)頂點(diǎn)，共6+6=12種情況，每一種情況都可構(gòu)成4個(gè)四棱錐，
故一共可構(gòu)成48個(gè)四棱錐，
要構(gòu)成四面體，可先從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，共有C₈⁴=70，
其中有4點(diǎn)共面（構(gòu)不成四面體）的取法有6+6=12，（6個(gè)表面，6個(gè)對(duì)角面），
故構(gòu)成四面體的總數(shù)為：70-12=58，
故所求個(gè)數(shù)只差的絕對(duì)值為|48-58|=10，
故答案為：10
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合及簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，涉及立體幾何中的位置關(guān)系，屬中檔題．