Question

4．方程$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=-1確定的曲線即為y=f（x）的圖象，對(duì)于函數(shù)f（x）有如下結(jié)論：
①f（x）單調(diào)遞增；
②函數(shù)g（x）=2f（x）+x不存在零點(diǎn)；
③f（x）的圖象與h（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則h（x）的圖象就是方程$\frac{y|y|}{4}$+x|x|=1確定的曲線；
④f（x）的圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為1．
則上述結(jié)論正確的是②④（只填序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)x、y的正負(fù)去絕對(duì)值，將方程$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=-1化簡(jiǎn)，得到相應(yīng)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式，由此作出函數(shù)的圖象，再由圖象可知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且f（x）的圖象上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為1，所以①錯(cuò)，④成立；
根據(jù)g（x）=2f（x）+x=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$x．再由函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的曲線以y=±$\frac{1}{2}$x為漸近線，得到f（x）=-$\frac{1}{2}$x沒有實(shí)數(shù)根，因此②正確．
根據(jù)曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線方程的公式，可得若函數(shù)h（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則y=h（x）的圖象對(duì)應(yīng)的方程是$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=1，說(shuō)明③錯(cuò)誤．由此可得本題的答案．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)x≥0且y≥0時(shí)，
方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=-1，軌跡不存在；
當(dāng)x＜0且y＜0時(shí)，方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
此時(shí)y=-$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{4}}$（x＜0）．
當(dāng)x≥0且y＜0時(shí)，方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1，
此時(shí)y=-$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}+1}$；
當(dāng)x＜0且y≥0時(shí)，方程為-$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=-1．
因此作出函數(shù)的圖象，如圖所示．
由圖象可知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以①不成立．
對(duì)于②由g（x）=2f（x）+x=0得f（x）=-$\frac{1}{2}$x．
因?yàn)殡p曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1和-$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=-1的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，
所以函數(shù)y=f（x）與直線y=-$\frac{1}{2}$x無(wú)公共點(diǎn)，
因此g（x）=2f（x）+x不存在零點(diǎn)，可得②正確．
對(duì)于③，若函數(shù)y=h（x）和y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則用-x、-y分別代替x、y，可得-y=f（-x）就是y=h（x）表達(dá)式，可得h（x）=-f（-x），
則函數(shù)y=h（x）的圖象是方程$\frac{x|x|}{4}$+y|y|=1確定的曲線，
而不是方程$\frac{y|y|}{4}$+x|x|=1確定的曲線，所以③錯(cuò)誤．
對(duì)于④，由圖象可得，f（x）的圖象上的點(diǎn)（0，-1）到原點(diǎn)的距離為最小，且為1，
所以④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有絕對(duì)值的二次曲線，要我們判斷并于曲線性質(zhì)的幾個(gè)命題的真假．著重考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)式的化簡(jiǎn)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．