Question

15．已知矩形ABCD的周長為18，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為（　　）

• A． 13π
• B． 12π
• C． 11π
• D． 10π

Answer 1

分析 正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的體積，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半徑，即可求出外接球的表面積．

解答 解：設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則6x+y=9，0＜x＜1.5，
正六棱柱的體積V=$6×\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}y$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$•3x•3x•（9-6x）≤$\frac{\sqrt{3}}{6}[\frac{3x+3x+（9-6x）}{3}]^{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)y=3，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點(diǎn)，則半徑為$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴外接球的表面積為4$π×\frac{13}{4}$=13π．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查外接球的表面積，考查基本不等式的運(yùn)用，確定正六棱柱的外接球的半徑是關(guān)鍵．