Question

17．已知函數(shù)f（x）=（3$\sqrt{x}$+2）²（x≥0），數(shù)列{a_n}滿足：a₁=4，a_n+1=f（a_n），數(shù)列{b_n}滿足：b₁+$\frac{_{2}}{2}$+$\frac{_{3}}{3}$+…+$\frac{_{n}}{n}$=$\sqrt{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求證數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式和它的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)題意可得$\sqrt{{a}_{n+1}}$=3$\sqrt{{a}_{n}}$+2，變形可得$\sqrt{{a}_{n+1}}$+1=3（$\sqrt{{a}_{n}}$+1），結(jié)合a₁=4即得$\left\{{\sqrt{a_n}+1}\right\}$是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)${a_n}={（{3^n}-1）^2}$，利用${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{b_n}{n}={3^n}-1$與${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{{{b_{n-1}}}}{n-1}={3^{n-1}}-1（n≥2）$作差可得$\frac{b_n}{n}=2•{3^{n-1}}（n≥2）$，再寫(xiě)出T_n、3T_n的表達(dá)式，錯(cuò)位相減計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=（3$\sqrt{x}$+2）²（x≥0），數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=f（a_n），
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$=3$\sqrt{{a}_{n}}$+2，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$+1=3（$\sqrt{{a}_{n}}$+1），
又∵a₁=4，
∴$\sqrt{{a}_{1}}$+1=3，
∴$\left\{{\sqrt{a_n}+1}\right\}$是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴$\sqrt{a_n}+1={3^n}$，
∴${a_n}={（{3^n}-1）^2}$；
（2）∵${a_n}={（{3^n}-1）^2}$，
∴${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{b_n}{n}={3^n}-1$，
${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{{{b_{n-1}}}}{n-1}={3^{n-1}}-1（n≥2）$
∴$\frac{b_n}{n}=2•{3^{n-1}}（n≥2）$，
∴${b_n}=2n{3^{n-1}}（n≥2）$，
又∵b₁=2符合上式，
∴${b_n}=2n{3^{n-1}}（n∈{N^*}）$；
∴T_n=2×1×3^1-1+2×2×3^2-1+…+2×n×3^n-1，
3T_n=2×1×3^2-1+2×2×3^3-1+…+2×（n-1）×3^n-1+2×n×3ⁿ，
∴T_n-3T_n=2×1×3^1-1+2×1×3^2-1+…+2×1×3^n-1-2×n×3ⁿ
=2（1+3+3²+…+3^n-1）-2×n×3ⁿ
=2•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-2×n×3ⁿ
=-[（2-1）3ⁿ+1]，
∴${T_n}=（n-\frac{1}{2}）{3^n}+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列的綜合題，考查求數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．