Question

已知函數(shù),，其中R ．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù), 當(dāng)時(shí)，若存在，對(duì)于任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；                    
②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）
（3）

試題分析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010843378533.png" style="vertical-align:middle;" />，且，
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；                    
②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．                      
（2），的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010843378533.png" style="vertical-align:middle;" />，                        
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010843175442.png" style="vertical-align:middle;" />在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，
 
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以                                               
（3）當(dāng)時(shí)，，
由得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上，                      
而在上的最大值為
有分
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是    
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分類討論得到函數(shù)單調(diào)性，以及根據(jù)極值來(lái)得到最值，解決不等式的成立，屬于中檔題。