Question

7．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于點（0，0）對稱，又關(guān)于直線x=1對稱．
（1）試證明函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）若當(dāng)x∈（0，1]時f（x）=x，求函數(shù)f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）圖象關(guān)于原點對稱，從而得到f（-x）=-f（x），而圖象關(guān)于直線x=1對稱便有f（-x）=f（x+2），這樣即可得出f（x）=f（x+4），即得出f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）根據(jù)f（x）的對稱性可以得出f（x）在一個周期[-1，3]上的圖象，根據(jù)圖象可寫出f（x）在[-1，3]上的解析式，而通過平移便可得出f（x）在R上的圖象，根據(jù)f（x）的周期為4及平移過程即可寫出f（x）在R上的解析．

解答 解：（1）證明：f（x）關(guān)于原點對稱，∴f（-x）=-f（x）；
f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，∴f（-x）=f（x+2）；
∴-f（x）=f（x+2）；
∴f（x）=-f（x+2）=f（x+4）；
即f（x+4）=f（x）；
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）根據(jù)條件及f（x）的對稱性，作出f（x）在一個周期[-1，3]上的圖象如下：

向左向右平移k個周期（k∈N^*）便可得出f（x）在R上的圖象；
f（x）在[-1，3]上的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}&{-1≤x≤1}\\{-x-2}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$；
∴f（x）在R上的解析式$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x+4k}&{-1-4k≤x≤1-4k}\\{-x-4k-2}&{1-4k＜x≤2-4k}\end{array}\right.$，k∈Z．

點評 考查函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱時有f（-x）=-f（x），圖象關(guān)于x=a對稱時有f（-x）=f（x+2a），以及周期函數(shù)的定義，由一個周期上的圖象平移周期的整數(shù)倍得出f（x）在R上的圖象的方法，分段函數(shù)的定義及形式．