Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx-cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式，以及f（x）取最大值時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）設(shè)△ABC三內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，若a+b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{6}$，f（C）=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出f（x）取最大值時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）先求出C，再求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（3分）
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，f（x）_max=2，
對應(yīng)x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．…（6分）
（Ⅱ）由f（C）=2，得2sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，∴-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$，…（8分）
又∵a+b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{6}$，由余弦定理得c²=a²+b²-ab，
∴12-3ab=6，即ab=2，…（10分）
由面積公式得△ABC面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查余弦定理，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．