Question

5．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分別是棱AB、BC和DD₁ 所在直線上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求∠EB₁F的取值范圍；
（2）若N為面EB₁F內(nèi)的一點(diǎn)，且∠EBN=45°，∠FBN=60°，求∠B₁BN的余弦值；
（3）若E、F分別是所在正方體棱的中點(diǎn)，試問在棱DD₁上能否找到一點(diǎn)M，使BM⊥平面EFB₁？若能，試確定點(diǎn)M的位置；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BE=x，BF=y，求出B₁E，B₁F，EF，利用余弦定理求解cos∠EB₁F，然后求出∠EB₁F的取值范圍．
（2）設(shè)N在BE、BF、BB₁，三邊上的投影分別是E₁、F₁、G₁，轉(zhuǎn)化求出∠B₁BN，即可得到它的余弦值．
（3）設(shè)EF與BD的交點(diǎn)為G．連接B₁G，說明EF⊥平面BB₁D₁D，過B作BK⊥B₁G于K，延長(zhǎng)后交D₁D所在的直線于點(diǎn)M，則BM⊥平面B₁EF．通過△B₁BG∽△BDM，求解即可．

解答 （本題滿分16分）
解：（1）設(shè)BE=x，BF=y，則B₁E=$\sqrt{{a}^{2}{+x}^{2}}$，B₁F=$\sqrt{{a}^{2}+{y}^{2}}$，EF=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
所以cos∠EB₁F=$\frac{{B}_{1}{E}^{2}+{B}_{1}{F}^{2}-E{F}^{2}}{2{B}_{1}E•{B}_{1}F}$=$\frac{2{a}^{2}}{2\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}}•\sqrt{{y}^{2}+{a}^{2}}}＜1$，
∠EB₁F的取值范圍為（0，$\frac{π}{2}$）（5分）
（2）解：設(shè)N在BE、BF、BB₁，三邊上的投影分別是E₁、F₁、G₁，
則由于∠EBN=45°，∠FBN=60°，∴BE₁=BNcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BN，B₁F=BNcos60°=$\frac{1}{2}$BN．
∵BE₁²+BF₁²+BG₁²=BN²
∴BG₁=$\frac{1}{2}$BN，即∠B₁BN=60°，它的余弦值為$\frac{1}{2}$（11分）
（3）解：設(shè)EF與BD的交點(diǎn)為G．連接B₁G，則由EF⊥BD以及EF⊥B₁B，知EF⊥平面BB₁D₁D，
于是面B₁EF⊥面BB₁D₁D，在面BB₁D₁D內(nèi)過B作BK⊥B₁G于K，延長(zhǎng)后交D₁D所在的直線于點(diǎn)M，則BM⊥平面B₁EF．
在平面BB₁D₁D內(nèi)，由△B₁BG∽△BDM，
知$\frac{B1B}{BG}$=$\frac{BD}{DM}$，又B₁B=a，BG=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，BD=$\sqrt{2}$a，∴DM=$\frac{a}{2}$．
這說明點(diǎn)M在正方體的棱D₁D上，且恰好為D₁D的中點(diǎn)．（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．