Question

15．某校高二奧賽班N名學(xué)生的物理測(cè)評(píng)成績(jī)（滿(mǎn)分120分）分布直方圖如圖，已知分?jǐn)?shù)在100-110的學(xué)生數(shù)有21人．
（1）求總?cè)藬?shù)N和分?jǐn)?shù)在110-115分的人數(shù)n；
（2）現(xiàn)準(zhǔn)備從分?jǐn)?shù)在110-115的n名學(xué)生（女生占$\frac{1}{3}$）中任選3人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（3）為了分析某個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)生提供指導(dǎo)性建議，對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)x（滿(mǎn)分150分），物理成績(jī)y進(jìn)行分析，如表是該生7次考試的成績(jī)．

數(shù)學(xué)	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

已知該生的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x是線性相關(guān)的，若該生的數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到130分，請(qǐng)你估計(jì)他的物理成績(jī)大約是多少？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂）…（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）求出該班總?cè)藬?shù)、分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)的學(xué)生的頻率，即可得出分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)的人數(shù)；
（2）利用列舉法確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求出其中恰好含有一名女生的概率；
（3）分別求出回歸學(xué)生的值，代入從而求出線性回歸方程，將x=130代入，從而求出y的值．

解答 解：（1）分?jǐn)?shù)在100-110內(nèi)的學(xué)生的頻率為P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，所以該班總?cè)藬?shù)為$N=\frac{21}{0.35}=60$，
分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)的學(xué)生的頻率為P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)的人數(shù)n=60×0.1=6．
（2）由題意分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)有6名學(xué)生，其中女生有2名，
設(shè)男生為A₁，A₂，A₃，A₄，女生為B₁，B₂，
從6名學(xué)生中選出3人的基本事件為：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂）共15個(gè)．
其中恰 好含有一名女生的基本事件為
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₂），（A₂，B₁），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），共8個(gè)，
所以所求的概率為$P=\frac{8}{15}$．
（3）$\overline x=100+\frac{-12-17+17-8+8+12}{7}=100$；
$\overline y=100+\frac{-6-9+8-4+4+1+6}{7}=100$；
由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，
根據(jù)回歸系數(shù)公式得到$\stackrel{∧}$=0.5，$\stackrel{∧}{a}$=100-0.5×100=50，
∴線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+50，
∴當(dāng)x=130時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=115．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．