Question

已知方向向量為的直線l過橢圓C：的焦點(diǎn)以及點(diǎn)（0，-2），橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（1）求橢圓C的方程．
（2）是否存在過點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，使△MON的面積為，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，及直線l過橢圓焦點(diǎn)，確定幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（2）分類討論，利用韋達(dá)定理，結(jié)合△MON的面積為，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）直線l：y=x-2 ①，過原點(diǎn)垂直于l的直線方程為 ②
解①②得x=．
∵橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，
∴，…（3分）
∵直線l過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2，故橢圓C的方程為 ③…（6分）
（2）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)m：y=k（x+2）代入③并整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=…（8分）
∴|MN|=|x₁-x₂|=，…（10分）
點(diǎn)O到直線m的距離d=，…（11分）
∵△MON的面積為，∴
∴k=，此時(shí)m：y=…（13分）
當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，m：x=-2，也有△MON的面積為；
故存在直線m滿足題意，其方程為或x=-2．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．