Question

已知曲線C₁：

x=cosθ y= 3 6 sinθ

（θ為參數(shù)），C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將C₁、C₂的方程化為普通方程；
（Ⅱ）若C₂與C₁交于M、N，與x軸交于P，求|PM|•|PN|的最小值及相應(yīng)α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）），利用sin²θ+cos²θ=1，即可把曲線C₁：

x=cosθ y= 3 6 sinθ

（θ為參數(shù)），化為普通方程；由C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t即可得出．
（II）C₂與x軸交于P(

2

2

，0)，把C₂的方程代入曲線C₁可得：（2+22sin²α）t²+2

2

tcosα-1=0．利用參數(shù)的幾何意義可得|PM|•|PN|=-t₁t₂=

1-2 2 cosα

2+22sin2α

，進(jìn)而求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C₁：

x=cosθ y= 3 6 sinθ

（θ為參數(shù)），利用sin²θ+cos²θ=(

6y

3

)2+x2=1，化為x²+12y²=1．
由C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：(x-

2

2

)sinα-ycosα=0．
（Ⅱ）C₂與x軸交于P(

2

2

，0)，
把C₂：

x= 2 2 +t•cosα y=t•sinα

（t為參數(shù)）．代入曲線C₁可得：（2+22sin²α）t²+2

2

tcosα-1=0．
∴|PM|•|PN|=-t₁t₂=

1-2 2 cosα

2+22sin2α

≥

1

24

，
∴|PM|•|PN|的最小值

1

24

，此時(shí)α=kπ+

π

2

，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．