Question

把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為b，給定方程組

ax+by=3 x+2y=2

（1）試求方程組只有一解的概率；
（2）求方程組只有正數(shù)解（x＞0，y＞0）的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）利用分布計(jì)數(shù)原理求出骰子投擲2次所有的結(jié)果，通過解二元一次方程組判斷出方程組有唯一解的條件，先求出不滿足條件結(jié)果個(gè)數(shù)，再求出方程組有唯一解的結(jié)果個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式求出方程組只有一個(gè)解的概率．
（II）首先列舉出a，b所有的可能結(jié)果，然后求出有正整數(shù)解時(shí)，列舉出所有的可能事件，進(jìn)而求出概率．

解答： 解：（1）當(dāng)且僅當(dāng)a≠

b

2

時(shí)，方程組有唯一解．
因a=

b

2

的可能情況為a=1，b=2或a=2，b=4或a=3，b=6三種情況
而先后兩次投擲骰子的總事件數(shù)是36種，
所以方程組有唯一解的概率P=1-

3

36

=

11

12

…（6分）
（2）因?yàn)榉匠探M只有正數(shù)解，所以兩直線的交點(diǎn)在第一象限，
由它們的圖象可知

3 b ＜1 3 a ＞2

或

3 b ＞1 3 a ＜2

解得（a，b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），
（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），
所以方程組只有正數(shù)解的概率P=

13

36

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型，考查解方程組，是一個(gè)綜合題，概率問題往往同其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．