Question

設(shè)a是正實(shí)數(shù)，若f（x）=

x2-6ax+10a2

+

x2+2ax+5a2

，（x∈R）的最小值為10，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）=

(x-3a)2+(0-a)2

+

(x+a)2+(0+2a)2

表示P（x，0）到兩點(diǎn)M（3a，a），N（-a，-2a）的距離之和．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)取得最小值10，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答： 解：f（x）=

(x-3a)2+(0-a)2

+

(x+a)2+(0+2a)2

表示P（x，0）到兩點(diǎn)M（3a，a），N（-a，-2a）的距離之和．
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)取得最小值10，
∴|MN|=

16a2+9a2

=10，a＞0，解得a=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．