(2012•鄭州二模)選修4-1:平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑,弦BD,CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(I)求證:∠DEA=∠DFA;
(II)若∠EBA=30°,EF=
3
,EA=2AC,求AF的長(zhǎng).
分析:(Ⅰ)連接AD,BC,證明A,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,可得結(jié)論;
(Ⅱ)證明△EFA∽△BCA,可得
AF
AC
=
AE
AB
,所以AF×AB=AC×AE,從而可求AF的長(zhǎng).
解答:(Ⅰ)證明:連接AD,BC.

因?yàn)锳B是⊙O的直徑,所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°,
故A,D,E,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,
∴∠DEA=∠DFA;
(Ⅱ)解:在直角△EFA和直角△BCA中,∠EAF=∠CAB,
所以△EFA∽△BCA,所以
AF
AC
=
AE
AB

所以AF×AB=AC×AE
設(shè)AF=a,則AB=3-a,所以a(3-a)=
1
2
(3+a2)
,所以a2-2a+1=0,解得a=1
所以AF的長(zhǎng)為1.
點(diǎn)評(píng):本題考查四點(diǎn)共圓,考查三角形的相似,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鄭州二模)已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx.
(I)當(dāng)a=
1
2
時(shí),求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(II)若函數(shù)g(x)=f(x)-
1
4
x在[1,e]上為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鄭州二模)已知a∈(-
π
2
,0),sina=-
3
5
,則tan(π-a)=
3
4
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鄭州二模)已知α∈(-
π
2
,0),sinα=-
3
5
,則cos(π-a)
-
4
5
-
4
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鄭州二模)直線x+2ay-5=0與直線ax+4y+2=0平行,則a的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鄭州二模)在一個(gè)邊長(zhǎng)為500米的正方形區(qū)域的每個(gè)頂點(diǎn)處設(shè)有一個(gè)監(jiān)測(cè)站,若向此區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投放一個(gè)爆炸物,則爆炸點(diǎn)距離監(jiān)測(cè)站200米內(nèi)都可以被檢測(cè)到.那么隨機(jī)投放一個(gè)爆炸物被監(jiān)測(cè)到的概率為( 。

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