Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

an+2

（n∈N₊），b_n=

1

an

+1．
（1）求證：{b_n}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{（2n-1）b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），由此能證明{b_n}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以b_n=

1

an

+1=2n，從而求出a_n=

1

2n-1

．
（2）由（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ，利用錯位相減法求和法能求出數(shù)列{（2n-1）b_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，
∴

1

an+1

=

an+2

an

=1+

2

an

，
∴

1

an+1

+1=2（

1

an

+1），
∴

1 an+1 +1

1 an +1

=2，
∵b_n=

1

an

+1，

1

a1

+1=2，
∴{b_n}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=

1

an

+1=2n，
∴

1

an

=2ⁿ-1，∴a_n=

1

2n-1

．
（2）∵（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴S_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2Sn=1•22+3•23+…+(2n-1)•2n+1，②
①-②，得：-Sn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)•2n+1
=2+2×

22(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-2）•2ⁿ⁺¹．
∴Sn=(n-2)•2n+1+2．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減求和法的合理運用．