Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=（a_n+1） bn（n∈N^*），證明{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)遞推數(shù)列的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)指數(shù)方程可得2[b₁+b₂+…+b_n]-n=nb_n，然后構(gòu)造方程組，得到b_n+2+b_n=2b_n+1，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，∴a₁+1=2≠0，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即a_n=2ⁿ-1，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ-1；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=（a_n+1） bn（n∈N^*），
則4b1-14b2-1…4bn-1=（2ⁿ） bn，
即2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，①
2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，②，
②-①得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，④
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
則b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴{b_n}是等差數(shù)列．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求解，以及等差數(shù)列的判斷，考查學(xué)生的推理能力．