Question

已知，且（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求a與b的關(guān)系；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）證明：
（提示：需要時(shí)可利用恒等式：lnx≤x-1）

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用 ，可得 ae--2=，化簡(jiǎn)可得a與b的關(guān)系．
（2）求出f′（x）=，令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，h（x）≥0恒成立，即a≥ 在（0，+∞）上恒成立，而由基本不等式可得的最大值等于1，所以a≥1．
（3）先證：lnx-x+1≤0  （x＞0），可得 ≤1-，令x=n²，≤（1-），
 可得  ≤（++…+ ）＜[n-1-（）]
=[n-1-（  ）]，化簡(jiǎn)即得不等式的右邊．
解答：解：（1）由題意，，∴ae--2=，
∴（a-b）（e+）=0，∴a=b．
（2）由（1）知：，（x＞0），∴f′（x）=a+-=，
令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）滿(mǎn)足：h（x）≥0恒成立．
即ax²-2x+a≥0，a≥ 在（0，+∞）上恒成立．
又∵0＜=≤1，x＞0，所以a≥1．
（3）證明：先證：lnx-x+1≤0  （x＞0），設(shè)K（x）=lnx-x+1，則K′（x）=-1=．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，k′（x）＞0，∴k（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，∞）時(shí)，k′（x）＜0，∴k（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴x=1為k（x）的極大值點(diǎn)，∴k（x）≤k（1）=0．  即lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴≤1-．
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得 ≤1-，∴≤（1-），
∴≤（++…+ ）
=[n-1-（）]＜[n-1-（）]
=[n-1-（ ++… ）]=[n-1-（  ）]=，
故要證的不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中，用放縮法證明不等式 是解題的難點(diǎn)．