如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將△、△分別沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．
（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）由，證出平面，進(jìn)而證出結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)對(duì)稱可判斷即為所求，由（1）可證△為直角三角形，再求出邊長(zhǎng)即可；方法二：建系，求出平面和平面的法向量，兩法向量的夾角的余弦值即為所求.
試題解析：（1）在正方形中，有，              1分
則，                                              2分
又                                                        3分
∴平面                                                      4分
而平面，∴                                        5分
（2）方法一：連接交于點(diǎn)，連接                           6分
∵在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，，
∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，
且                                                            7分
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，∴                8分
∴為二面角的平面角         9分

由（1）可得，
∴△為直角三角形       10分
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴，，
∴，，
又                       11分
∴                                    12分
∴                                         13分
∴二面角的余弦值為                                       14分
方法二：∵正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴                                                            6分
∴，∴                                    7分

由（1）得平面，
∴分別以，，為，，
軸建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系，             8分
則，，
，         9分
∴，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，
可取                                                  11分
又平面的一個(gè)法向量可取                          12分
∴                         13分
∴二面角的余弦值為.                                 14分.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，AB=BC=2，，點(diǎn)E、F分別是面A1C1、面BC1的中心．

（1）求證：BE//平面D1AC；
（2）求證：AF⊥BE；
（3）求異面直線AF與BD所成角的余弦值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（Ⅰ）求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為(　　)
A．,-,4B．,-,4
C．,-2,4D．4,,-15

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是    (　　)．
A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量＝，＝，其中＝(3,1)，＝(1,3)．若＝λ＋μ，且0≤λ≤μ≤1，C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是(　　)
 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知向量，，A為動(dòng)點(diǎn)，，則與夾角的最小值為（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)a=(x,4,3)，b=(3,2,z),且a∥b，則等于（   ）
A．9 B．-4C．D．-9

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的距離是___________.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案