Question

曲線C₁的參數(shù)方程為

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），將曲線C₁上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標伸長為原來的

3

倍，得到曲線C₂．以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（cosθ-2sinθ）=6．
（1）求曲線C₂和直線l的普通方程；
（2）P為曲線C₂上任意一點，求點P到直線l的距離的最值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把C₂的參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)，化為直角坐標方程；把直線l的極坐標方程根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ化為直角坐標方程．
（Ⅱ）設(shè)點P（2cosθ，

3

sinθ），由點到直線的距離公式得點P到直線l的距離為d=

5

5

[6+4sin（θ-

π

6

）]，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得點P到直線l的距離的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得C₂的參數(shù)方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)），即C₂：

x2

4

+

y2

3

=1，
直線l：ρ（cosθ-2sinθ）=6，化為直角坐標方程為 x-2y-6=0．
（Ⅱ）設(shè)點P（2cosθ，

3

sinθ），由點到直線的距離公式得點P到直線l的距離為
d=

|2cosθ-2 3 sinθ-6|

5

=

|6+4( 3 2 sinθ- 1 2 cosθ)|

5

=

|6+4sin(θ- π 6 )|

5

=

5

5

[6+4sin（θ-

π

6

）]．
∴

2 5

5

≤d≤2

5

，故點P到直線l的距離的最大值為2

5

，最小值為

2 5

5

．

點評：題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．