Question

如圖，三棱柱ADF-BCH中，側面ABCD是菱形，F(xiàn)A=FD，∠BAD=60°，E是AD的中點，點Q在線段FC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面EFB；
（Ⅱ）若Q是FC的中點，求證：FA∥平面BDQ
（Ⅲ）若V_F-BCDE=2V_Q-ABCD，試求

CF

CQ

的值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定證明，關鍵是證明AD⊥FE，AD⊥BE；
（Ⅱ）連接AC交BD于點O，連結OQ，利用三角形的中位線定理證明OQ∥FA，即可證明FA∥平面BDQ
（Ⅲ）利用體積關系可得高的關系，即可求

CF

CQ

的值．

解答： （Ⅰ）證明：因為E是AD的中點，F(xiàn)A=FD，所以AD⊥FE
因為側面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，
又因為E是AD的中點，所以AD⊥BE，
因為FE∩BE=E，所以AD⊥平面EFB…..（4分）
（Ⅱ）證明：連接AC交BD于點O，連結OQ．
因為O是AC中點，Q是FC的中點，
所以OQ為△FAC的中位線，
所以OQ∥FA，
因為FA?平面BDQ，OQ?平面BDQ，
所以FA∥平面BDQ…．（8分）
（Ⅲ）解：設四棱錐F-BCDE，Q-ABCD的高分別為h₁，h₂，
所以V_F-BCDE=

1

3

SBCDEh1，VQ-ABCD=

1

3

SABCDh2
因為V_F-BCDE=2V_Q-ABCD，且底面積SBCDE=

3

4

SABCD
所以

h1

h2

=

8

3

，
因為

h1

h2

=

CF

CQ

，
所以

CF

CQ

=

8

3

…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查體積的計算，解題的關鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定，屬于中檔題．