Question

15．已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x-m）≤0．
（1）若m=4，命題“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢q是￢p的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由p：|x+1|≤2，解得-3≤x≤1．由q：（x+1）（x-m）≤0．對m分類討論即可得出．
（1）當(dāng)m=4時，由命題q可得：-1≤x≤4．由于命題“p或q”為真，“p且q”為假，可得p與q必然一真一假．
（2）由￢q是￢p的必要不充分條件，可得q是p的充分不必要條件．即可得出．

解答 解：由p：|x+1|≤2，解得-3≤x≤1．
由q：（x+1）（x-m）≤0．當(dāng)m＞-1時，解得-1≤x≤m；當(dāng)m=-1時，解得x=-1；當(dāng)m＜-1時，解得m≤x≤-1．
（1）當(dāng)m=4時，由命題q可得：-1≤x≤4．
∵命題“p或q”為真，“p且q”為假，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x≤1}\\{x＜-1或x＞4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-3或x＞1}\\{-1≤x≤4}\end{array}\right.$，
解得-3≤x＜-1，或1＜x≤4．
∴實數(shù)x的取值范圍為-3≤x＜-1，或1＜x≤4．
（2）∵￢q是￢p的必要不充分條件，
∴q是p的充分不必要條件．
∴當(dāng)m＞-1時，可得：-1＜m≤1；
當(dāng)m=-1時，解得x=-1，滿足條件，m=-1；
當(dāng)m＜-1時，可得-3≤m＜-1．
綜上可得：m的取得范圍為-3≤x≤1．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法、絕對值的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．