Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足6S_n=（a_n+1）（a_n+2）n∈N^*，則下列說(shuō)法中，正確的是（　�。�

• A． 數(shù)列{a_n}一定是一個(gè)等差數(shù)列
• B． 數(shù)列{a_n}一定是一個(gè)等比數(shù)列
• C． 數(shù)列{a_n}一定是等差數(shù)列或等比數(shù)列
• D． 數(shù)列{a_n}可能既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列通項(xiàng)公式滿足的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可．

解答 解：n=1時(shí)，6a₁=a₁²+3a₁+2，
即a₁²-3a₁+2=0，解得a₁=2或a₁=1．
n≥2時(shí)，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∴a_n+a_n-1=0或a_n-a_n-1=3，
若a_n+a_n-1=0，則a_n=-a_n-1，則數(shù)列{a_n}是一個(gè)等比數(shù)列，
若a_n-a_n-1=3，
則數(shù)列{a_n}一定是等差數(shù)列或等比數(shù)列，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)條件求出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．